Una persona común mira esto y ve un desorden incomprensible. Un matemático lo mira y dice: "Bueno, sí, obviamente." Una persona común o un matemático que no quiere admitir que no lo comprende también se encogerá de hombros y dirá: "Bueno, sí, obviamente." Pero no quiero que seas una de esas personas. El problema es que la lógica simbólica, si no estás familiarizado con ella, puede ser realmente intimidante en la superficie. Pero te prometo que al final de este breve video, entenderás todo lo que está sucediendo aquí y estarás de acuerdo en que sí, esto es obviamente verdadero.
Este video está pensado como una introducción a la lógica de primer orden para ayudar a los estudiantes que están aprendiendo esta materia por primera vez. Si es algo con lo que ya estás familiarizado, este video podría no ser para ti. O tal vez verás una perspectiva fresca, nuevas formas de pensar o nuevas formas de enseñar el material que nunca habías considerado antes. Probablemente no debería desanimar a la gente de ver mi propio video, pero solo quiero ser franco sobre lo que contiene este video.
La lógica matemática es el estudio de la verdad de las declaraciones matemáticas, que llamamos proposiciones. Mucho de lo que aprenderemos hoy se puede aplicar también en contextos no matemáticos. Una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo, si tomo un número como x y hago la afirmación "x es igual a 1", entonces esto es una proposición porque x es uno o no es uno: es verdadero o falso. Si y también es un número, entonces "x es menor que y" también es una proposición; es una afirmación que es verdadera o falsa.
Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas pero nunca ambas: esto se conoce en lógica como la ley de no contradicción. Las proposiciones deben ser verdaderas o falsas; no hay término medio. Esa es una ley conocida como la ley del tercero excluido porque no hay territorio intermedio. La otra ley que encontrarás en la base de la lógica es la ley de identidad, que dice que para cualquier entidad x, x siempre es igual a x.
Debo señalar aquí que las proposiciones no deben ser subjetivas, y a veces depende de cómo se definan los términos. Por ejemplo, para que la proposición "Me gusta pi" sea válida y no subjetiva, depende de cómo se definan los términos. ¿Estoy hablando del número π o estoy hablando del pastel (pie en inglés)? De cualquier manera, la proposición es verdadera porque ¿a quién no le gusta π y a quién no le gusta el pastel?
Afortunadamente, las proposiciones matemáticas raramente se desvían hacia ese tipo de territorio subjetivo. Lo peor que puede suceder es algo como afirmar "cero es un número natural." No hay un consenso general sobre si el cero está incluido en los números naturales, así que realmente depende del autor. Otro ejemplo podría ser "uno es primo", que todos diríamos que es falso, pero dediqué un video entero a discutir cómo a veces lo es y a veces no lo es.