循環行列
$$
A = \begin{pmatrix}
x & y & z \\
z & x & y \\
y & z & x
\end{pmatrix}
$$
を考える。3次元の離散フーリエ変換(DFT)を表す行列 $F$ は
$$
F =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & \omega & \omega^2 \\
1 & \omega^2 & \omega
\end{pmatrix},
\quad
\omega = e^{2\pi i/3}=-\tfrac12 +\tfrac{\sqrt{3}}{2}, i, \omega^3=1.
$$
この $F$ には
$$
F^{-1}=
\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & \omega^2 & \omega \\
1 & \omega & \omega^2
\end{pmatrix}
$$
が存在し，循環行列 $A$ は
$$
A =
F^{-1}
\begin{pmatrix}
\lambda_0 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_2
\end{pmatrix}
F
$$
という形に 対角化 される。ここで $\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2$ は $A$ の固有値で，具体的には
$$
\lambda_0
= x + y + z,
\qquad
\lambda_1
= x + \omega,y + \omega^2,z,
\qquad
\lambda_2
= x + \omega^2,y + \omega,z.
$$
上記の形から,
$$
A^{-1}=
F^{-1}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\lambda_0} & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{\lambda_1} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\lambda_2}
\end{pmatrix}
F
$$
と書ける。すなわち「固有値をとりあえず3つ計算し、その逆数を取ってDFT行列を使って戻す」というのが、循環行列を対角化する際の定石となる。
これにより計算手順自体は一貫して単純になり、各成分がどこから出てきているのか明確になる。
ただし、この形を実際に「成分表示（実数多項式）」で書き下す段になると、
-
$\omega^k$ の実部・虚部を展開して整理する
- 分母として $(x + \omega y + \omega^2 z),(x + \omega^2 y + \omega z),\dots$ が現れる
- そして最終的に $\omega,\omega^2$ を消去する
... と進めることになる。結果、行列の各成分に「ずらされた形」 $(x^2 - yz)$, $(y^2 - xz)$, $(z^2 - xy)$ が並ぶ。
- 3次の循環行列の場合、DFT(離散フーリエ変換)による対角化は定石であり、固有値 -> 対角行列の逆数 -> 逆行列 という手順でスマートに計算できる。
- ただし実数多項式表現に戻すと複素数の消去が必要になり、結果の見た目は先に示した循環構造の形に落ち着く。
- 一見「もっときれいに約分できそう」に見えても、実際には循環形故に上手く纏まらない。
